О сходимости с функционалом

Для интегральных функционалов вида
$$ (u,F,\mathfrak R)=\int_{\mathfrak R}F(x,u(x))\,d\mu, $$
где $\mathfrak R$ – метрическое локально-компактное пространство с борелевской мерой $\mu$, $\mu(\mathfrak R)<+\infty$, $u\colon\mathfrak R\to\mathbf R^l$ – вектор-функция, измеримая по мере $\mu$, и где на $F$ налагаются естественные ограничения, обеспечивающие измеримость функции $x\to F(x,u(x))$, доказана теорема следующего содержания.
Пусть дана последовательность выпуклых по $u$ функций $F_m(x,u)$, сходящаяся при $m\to\infty$ к функции $F_0(x,u)$, существенно выпуклой по $u$. Если
$$ \lim_{m\to\infty}(u_m,F_m,\mathfrak R)=(u_0,F_0,\mathfrak R)<+\infty $$
для фиксированной последовательности вектор-функций $u_m$ слабо сходящейся в $L_1(\mathfrak R,\mu)$ к вектор-функции $u_0$, то и
$$ \lim_{m\to\infty}(u_m,K_m,\mathfrak R)=(u_0,K_0,\mathfrak R) $$
для любой последовательности функций $K_m$, мажорируемых функциями $F_m$ и сходящихся при $m\to\infty$ к функции $K_0$.
Библиогр. 4.