Об евклидовости матричных модулей над данным евклидовым кольцом

Пусть $K$ – кольцо с единицей, $M$ – правый $K$-модуль, $\Sigma\subset M$, $\Sigma_0=\Sigma\cup\{0\}$, $\Sigma^0=\Sigma\setminus\{0\}$, $K_{mn}=M_{mn}(K)$ и $K_n=K_{nn}$. Множество $\Sigma\subset M^0$ называем евклидовым в правом $K$-модуле $M$, если существует хотя бы одно отображение $\Phi\colon\Sigma_0\to W$ ($W$ – вполне упорядоченное множество), обладающее свойством
$$ (\forall a\in M)\,(\forall b\in\Sigma)\,(\exists q\in K)\,(\exists r\in\Sigma_0)\, (a=bq+r,\Phi r<\Phi b). $$
Правый $K$-модуль называем евклидовым, если таково его подмножество $M^0$. Кольцо $K$ евклидово справа, если таков правый $K$-модуль $K$. Основной результат работы:
а) если кольцо $K$ евклидово справа, тогда каждый из правых $K_n$-модулей $K_{mn}$ ($m\leq n$) является евклидовым;
б) если $K$ – область целостности, то любое из множеств $\Sigma_r=A\in K_{mn}=\{A:\operatorname{rang}A\geq r\}$ ($0\leq r\leq m$) евклидово в правом $K_n$-модуле $K_{mn}$ ($m\leq n$). При этом если кольцо $K$ не является телом, то при $n>1$ кольцо $K_n$ не имеет ни одного конечного евклидова алгоритма $\Phi\colon K_n\to W$ (т.е. алгоритма $\Phi$, для которого тип вполне упорядоченного множества $\Phi(K_n)$ не превышает $\omega$).
Библиогр. 6.