Выпуклые поверхности с положительной ограниченной удельной кривизной и априорные оценки для уравнений Монжа–Ампера

Рассматриваются выпуклые поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, кривизны которых, по А. Д. Александрову, ограничены снизу и сверху положительными постоянными. Доказывается, что всякая выпуклая поверхность ограниченной положительной кривизны принадлежит $C^{1,\alpha}\cap W^2_q$, $0<\alpha<1$, $q\ge1$, и $\alpha\to1$, $q\to\infty$, если отношение нижней границы кривизны к верхней стремится к единице. Как следствие отсюда получается соответствующий результат о гладкости обобщенных решений уравнения Монжа–Ампера, правая часть которого ограничена снизу и сверху положительными постоянными. Доказанная теорема применяется также к проблеме Минковского.
Библ. 17.