Об изометричности областей, границы которых изометричны в относительных метриках

Предположим, что на замыкании $\operatorname{cl}\Delta$ области $\Delta$ в евклидовом пространстве $E^n$, $n\geq2$, может быть введена внутренняя метрика $\rho_\Delta$. Далее под “областью” будет пониматься область, удовлетворяющая этому условию и не содержащая полупространства. Будем говорить, что границы $\partial\Delta_1$ и $\partial\Delta_2$ областей $\Delta_1$ и $\Delta_2$ $\varepsilon$-изометричны в относительных метриках (где $\varepsilon>0$), если существует такое биективное отображение $f\colon\partial\Delta_1\to\partial\Delta_2$, что для каждого $a$ ($0<a<\varepsilon$)
$$ \rho_{\Delta_1}(X,Y)=a\Leftrightarrow\rho_{\Delta2}(f(X),f(Y))=a. $$

Найдено необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять выпуклая область $\Delta_1\subset E^n$ для того, чтобы для каждой области $\Delta_2\subset E^n$ (не предполагается, что область $\Delta_2$ выпукла) и для каждого $\varepsilon>0$ из $\varepsilon$-изометричности границ областей $\Delta_1$ и $\Delta_2$ в относительных метриках следовала бы изометричность самих областей в индуцированных на них евклидовых метриках.
Библ. 2.