Задача Беккера о метриках в классе $\Sigma$

Пусть $\Sigma$ – множество однолистных аналитических в области $\{|z|>1\}$ функций, допускающих разложение $f(z)=z+a_1/z+\cdots$, $S(f)=(f''/f')'-(f''/f')^2/2$,$\rho(f,g)=\operatorname{sup}(|z|^2-1)^2|S(f)-S(g)|$, $d(f,g)=\operatorname{sup}(|z|^2-1)|z|\times|f''/f'-g''/g'|$. Й. Беккером [In: Aspects of contemporary complex analysis, London, Acad. Press., 1980, 37–77] был поставлен вопрос: если последовательность функций $f_n\in\Sigma$ сходится в метрике $\rho$, то сходится ли она в метрике $d$? В настоящей заметке указаны более слабые, чем в цитированной статье Й. Беккера, дополнительные условия для положительного ответа и доказано, что в общем случае ответ отрицательный.
Библ. 3.