О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру $n$-мерного тора

Исследуется кривизна группы $S\operatorname{Diff}(T^n)$-диффеоморфизмов, сохраняющих меру $n$-мерного тора, снабженной правоинвариантной римановой метрикой (кинетической энергией). Вычисляются кривизны по двумерным направлениям, взятым в единице группы $S\operatorname{Diff}(T^n)$ для случаев, когда одно из направлений задается однородным гармоническим полем, а также полем на трехмерном торе $\omega=(\sin\varphi_3+\cos\varphi_2,\sin\varphi_1+\cos\varphi_3,\sin\varphi_2+\cos\varphi_1)$. По многим направлениям кривизны являются отрицательными, что свидетельствует об экспоненциальной неустойчивости соответствующих течений идеальной несжимаемой жидкости на торе.
Исследуется асимптотика функционала кривизны, когда одно из направлений фиксировано, а другое является однородным гармоническим, причем гармоника стремится к бесконечности, сохраняя фиксированное направление стремления.
Для группы $S\operatorname{Diff}(T^n)$ определяется бесконечномерный аналог кривизны Риччи и вычисляется ее значение. Кривизна Риччи оказывается неположительной, а для непостоянных полей (т. е. не принадлежащих алгебре Ли тора) — отрицательной.
Библ. 6.