О росте целых функций

Пусть $f(z)$ – целая функция в плоскости $\mathbf C$. Положим
$$ M(r,f)=\max_{|z|=r}|f(z)|,\quad T(r,f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln^{+}|f(re^{i\theta})| \,d\theta, $$
где $\ln^{+}x=\max(\ln,0)$. В работе получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть $\varepsilon(t)$ – положительная неубывающая функция, для которой $\displaystyle\int_{x_0}^\infty\dfrac{dt}{t\cdot\varepsilon(t)}<\infty$. Тогда для каждой целой функции $f(z)$, не равной тождественно постоянной,
$$ \varliminf_{r\to\infty}\frac{\ln M(r,f)}{T(r,f)\cdot\varepsilon(T(r,f))}=0. $$

Теорема 2. Пусть $\Phi(x)$ – положительная, неубывающая дважды непрерывно дифференцируемая выпуклая функция такая, что
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x\cdot \Phi'(x)}{\Phi(x)}=1 $$
и
$$ \int_{x_0}^\infty \frac{dt}{\Phi(t)}=\infty. $$
Тогда существует целая функция $f(z)$, для которой
$$ \varliminf_{r\to\infty}\frac{\ln M(r,f)}{\Phi(T(r,f))}=\infty. $$

Теорема 1 усиливает результат Симидзу [1929].
Библ. 14.