О характеризации изометрий

Далее $E^n$ – $n$-мерное евклидово пространство, $\rho$ – метрика в $E^n$, $S^{n-1}(O,1)$ – сфера радиуса $1$ с центром в $O$. Доказывается существование множеств $M\subset E^n$ ($n\ge2$) и $\mathscr{M}\subset S^{n-1}(O,1)$ меры $0$ и первой категории ($M$ в $E^n$, a $\mathscr{M}$ в $S^{n-1}(O,1)$ соответственно), обладающих следующим свойством.
Пусть $f\colon E^n\to E^n$ такое отображение, что из условий:
1) $\rho(X,Y)=1$;
2) существует такая точка $U\in\mathscr{M}$, что $[X,Y]//[O,U]$; следует $\rho(f(X),f(Y))=1$.
Тогда $f$ – изометрия.
Библ. 4.