О некоторых задачах в теории симплексов Шоке, связанных с гармоническими пространствами

В метризуемом симплексе Шоке $S$ рассмотрим: $E(S)$ – множество его крайних точек, $\operatorname{Sh}_S=\overline{E(S)}\setminus E(S)$, $\mu_x$ – максимальную меру с барицентром $x$, $M_x^{+}(F)$ – множество всех вероятностных мер, представляющих точку $x$ и сосредоточенных на замкнутом множестве $F\subseteq S$, $\operatorname{face}(x)$ – наименьшая грань $S$, содержащая точку $x$, $P(S)$ – множество во всех непрерывных, выпуклых на $S$ функций; $A(S)=P(S)\cap (-P(S))$. На $B$ – множестве всех вещественных, ограниченных на $E(S)$ борелевских функций построим оператор Дирихле $f\to u_f$, где $u_f(x)=\mu_x(f)$, $x\in S$. Обозначим через $A_f=\{x\in S: u_f$ непрерывна в точке $x\}$. В этой работе исследуются множества: $A=\bigcap\limits_{f\in C(\overline{E(S)})|_{E(S)}}A_f$, $A_0=\bigcap\limits_{f\in B}A_f$, $I=S\setminus A$, $I_0=S\setminus A_0$.
Теорема.
$$ A_f=\{x\in S:\hat{f}(x)=\check{f}(x)\},\quad\text{где}\quad\hat{f}=\inf \{a\in A(S):a|_{E\subset S}\geq f\}, \quad \check{f}=-(-\hat{f}). $$

Теорема. 1) $A=\{x\in S:M_x^{+}(\overline{E(S)})\}=\{\mu_x\}$; $\exists p\in P(S)$, что $A=A_{p|_{E(S)}}$; 2) $A$ типа $G_\delta$ и плотно в $S$; если $\operatorname{Sh}_S\neq\varnothing$, то 3) $I$ выпукло; $x\in I$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\cap I\neq\varnothing$; 4) $(\forall y\in S)$ и $(\forall x\in I)$ $]y:x]\subseteq I$ (откуда $I=S$).
Теорема. 1) $x\in A$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\subseteq A_0$ ($x\in I_0$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\cap I_0\neq \varnothing$); 2) $I_0$ выпукло; ($\forall y\in S$) и ($\forall x\in I_0$) $]y;x]\subseteq I_0$; 3) если в $E(S)$ нет изолированных точек, то мера $\mu_x$ не имеет атомных составляющих ($\forall x\in A_0$).
Эти результаты позволяют заметить, что точки $A_0$ соответствуют точкам открытого множества $\omega\subset R^n$, где решается задача Дирихле. Далее выяснено, что если $x\in\operatorname{Sh}_S$ обладает мерой $\nu_x\in M_x^{+}(S)$, нагружающей плотную долю, то $S$ – примарный симплекс. Дана связь точек $\operatorname{Sh}_x$ с плотными долями квазивнутренности $A_0$.
В заключение получена квазипиковая характеристика иррегулярных точек для оператора Лапласа.
Библ. 9.