Оценки сверху и снизу размерности аттракторов эволюционных уравнений с частными производными

Рассматриваются эволюционные уравнения вида $\partial_tu=A(u)$. Изучаются максимальные аттракторы таких уравнений. Доказаны общие теоремы существования максимальных аттракторов. Получены теоремы об оценках сверху и снизу хаусдорфовой размерности аттракторов. Эти теоремы применяются к дифференциальным уравнениям с частными производными. Для аттрактора двумерной системы Навье–Стокса с нулевыми граничными условиями получена оценка сверху хаусдорфовой размерности: $\operatorname{dim}\mathfrak A\le C(\operatorname{Re})^4$, а в случае периодических граничных условий: $\operatorname{dim}\mathfrak A\leq C_\varepsilon(\operatorname{Re})^{2+\varepsilon}$, $\varepsilon>0$, где $\operatorname{Re}$ – число Рейнольдса. В случае периодических граничных условий получена оценка снизу: $\operatorname{dim}\mathfrak A\geq C\operatorname{Re}$, $C>0$. Для аттракторов ряда параболических уравнений и систем типа химической кинетики вида
$$ \partial_tu=\nu L_0u-f(x,u)+\lambda u,\quad \lambda>0, $$
получены оценки сверху: $\operatorname{dim}\mathfrak A\leq C\lambda^{n/2}\nu^{-n/2}$, и аналогичные оценки снизу: $\operatorname{dim}\mathfrak A\geq C_1\lambda^{n/2}\nu^{-n/2}$.
Библ. 15.