Об одном характеристическом свойстве изометрических и подобных отображений

Доказывается существование множества $M\subset E^n$ ($n\ge3$) меры нуль и первой категории, обладающего следующим свойством. Пусть $a$, $b$ – различные положительные числа, пусть $\Omega$ – подмножество множества положительных чисел, мощность .которого меньше континуума; если $f\colon E^n\to E^n$ – такое инъективное отображение, что из условия $\rho(X,Y)=a$ или $\rho(X,Y)=b$, где $X\in M$, следует $\rho(f(X),f(Y))\in\Omega$, то $f$ – подобие.
Аналогичный результат получен для пространства Лобачевского.
Библ. 3.