О диаметрах выпуклых поверхностей с ограниченной снизу гауссовой кривизной

В $n$-мерном евклидовом пространстве рассматривается класс $H$, состоящий из $(n-1)$-мерных выпуклых поверхностей, у которых в каждой точке гауссова кривизна ограничена снизу единицей. Каждой поверхности $\Phi\in H$ сопоставляется ее $k$-диаметр $d^n_k(\Phi)$, равный диаметру наибольшего $k$-мерного шара, вложенного в поверхность $\Phi$. Доказывается, что если $2k<n-1$, то $k$-диаметр может принимать сколь угодно большие значения. Если же $n-1\le 2k\le 2n$, то $d^n_k(\Phi)\le4$ для любой поверхности $\Phi\in H$.
Библиогр. 2.