Об отображениях, сохраняющих выпуклость

Доказывается аффинность биективного отображения $f\colon E^k\to E^k$, ($k\ge2$), обладающего следующим свойством: существует такое $a>0$, что для каждого выпуклого множества $M\subset E^k$ существует выпуклое множество $M'$, для которого $M'\subset f(M)\subset(M',a)$, где $(M',a)$ – $\alpha$-окрестность $M'$.
Аналогичный результат получен для пространства Лобачевского.
Библ. 1.