О многообразии ассоциативных алгебр, для которых группоид подмногообразий является коммутативной полугруппой

Исследуются многообразия $\mathfrak M$ ассоциативных алгебр над фиксированным полем $\mathfrak F$ характеристики $p>0$, для которых группоид подмногообразий $\Gamma_{\mathfrak M}$ – коммутативный. Доказывается, что в этом случае $\Gamma_{\mathfrak M}$ – полугруппа и если $\mathfrak F=\operatorname{GF}(q)$, то $\Gamma_{\mathfrak M}$ является коммутативной полугруппой тогда и только тогда, когда: 1) $\mathfrak M=\mathfrak A\vee \mathfrak M_{\operatorname{nil}}$, где $\mathfrak A=\operatorname{var}\{\operatorname{GF}(q^{n_i}), i=1,2,\dots,s\}$, $\mathfrak M_{\operatorname{nil}}=\operatorname{var}\{A\in \mathfrak M|A\text{ - ниль-алгебра}\}$, 2) $\Gamma_{\mathfrak M_{\operatorname{nil}}}$ – коммутативная полугруппа, 3) $x^{2d+3}\in T(\mathfrak M_{\operatorname{nil}})$. Если поле $\mathfrak F$ – бесконечное, то $\Gamma_{\mathfrak M}$, коммутативная полугруппа в том и только в том случае, когда либо $\operatorname{ch}\mathfrak F=p=2$ и $T(\mathfrak M)$ содержит элементы $(x_1x_2)^2-\alpha x_1^2x_2^2$, $[x_1,x_2][x_3,x_4]$, $[x_1x_2,x_3x_4]$, $-x_1x_2x_3x_4^2$, $0\neq\alpha\in\mathfrak F$, либо $\operatorname{ch}\mathfrak F=p>2$, и $T(\mathfrak M)$ содержит элементы $x_1x_2\dots x_{p+1}x_{p+2}^p$, $[x_1x_2,x_3x_4] -1/2([x_1x_2][x_3x_4])+\beta[[x_1,x_4],[x_2,x_3]]+(x_1\circ x_2)\circ[x_3,x_4]$, где $\beta\in\mathfrak F$.
Библ. 5.