Об одной задаче восстановления римановой метрики

В замкнутой области $\overline D$ пространства $x=(x_1,\dots,x_n)$, $n\geq2$ с гладкой границей $S$ рассматривается риманова метрика
\begin{equation} d\tau=\lambda(x)[a_{ij}(x)\,dx^idx^j]^{1/2}, \quad a_{ij}=a_{ji}. \label{1} \end{equation}

Требуется найти $\lambda(x)>0$, $\lambda(x)\in C^3(\overline{D})$, если известны расстояния $\tau$ в метрике \eqref{1} между любой парой точек границы $S$. Функции $a_{ij}(x)\in C^3(\overline{D})$ известны и удовлетворяют при всех $dx=(dx^1,\dots,dx^n)$ условию
$$ \gamma^{-1}|dx|^2\leq a_{ij}\,dx^idx^j\leq\gamma|dx|^2, \quad \gamma>0. $$

Для сформулированной задачи доказана теорема единственности и получена оценка устойчивости. При этом класс рассматриваемых метрик \eqref{1} считаем регулярным, т. е. отсутствуют фокусировки лучей и волноводы. Получена также формула, выражающая риманов объем области $D$ через данные задачи.
Библ. 10.