О слабой непрерывности якобианов

Рассматриваются функционалы вида
$$ \int_U G\biggl(\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\biggr)\,dx, $$
где $U$ – область в $R^n$, $u\colon U\to R^m$ – функция класса $L_1(U)$, причем каждая ее компонента принадлежит пространству Соболева $W^1_p(U)$, $p>1$, $\dfrac{\partial u^i}{\partial x^j}$ обычные обобщенные производные, $G\colon R^{nm}\to R^1$ – измеримая по Борелю, не принимающая бесконечных значений функция.
Теорема. Пусть для любых $\psi(x)\in C_0^\infty(B(x_0,r))$ и последовательности вектор-функций $u_l(x)\to u_0(x)$ слабо в $\overset\circ{W}{}^{(1)}_p(B(x_0,r))$,
$$ \lim_{l\to\infty}\int_{B(x_0,r)} \psi(x)G\biggl(\frac{\partial u^i_l}{\partial x^j}\biggr)\,dx= \int_{B(x_0,r)}\psi(x)G\biggl(\frac{\partial u^i_0}{\partial x^j}\biggr)\,dx. $$
Тогда $G\biggl(\dfrac{\partial u^i}{\partial x^j}\biggr)$ – линейная комбинация миноров матрицы Якоби $\biggl(\dfrac{\partial u^i}{\partial x^j}\biggr)$.
Здесь $B(x_0,r)$ – открытый шар в $R^n$, $u_l(x)\to u_0(x)$ слабо в $\overset\circ{W}{}^1_p(B(x_0,r))$, если: a) $u_l(x)\in\overset\circ{W}{}^1_p(B(x_0,r))$, $\|u_l\|_{\overset\circ{W}{}^1_p(B(x_0,r))}\leq C$; b) $\forall\varphi\in C_0^\infty(B(x_0,r))$,
$$ \lim_{l\to\infty}\int_{B(x_0,r)}\varphi(x)u^i_l(x)\,dx =\int_{B(x_0,r)}\varphi(x)u_0^i(x)\,dx, \quad 1\leq i\leq m. $$