О связи модуля выпуклости с характеристикой нормирующих подпространств

Для сопряженного банахова пространства $X^*$ пусть $\delta(f,\varepsilon)$ ($f\in X^*$) – локальный модуль выпуклости Ловалья и $r(\Gamma)$ – характеристика подпространства $\Gamma\subset X^*$ в смысле Диксмье.
Теорема 1.
$$ r(\Gamma)\leq 1-2\sup_{f\in S_{X^*}\setminus\Gamma} \delta(f,\operatorname{dist}(f,\Gamma)). $$

Теорема 2. Для любого подпространства $\Gamma\subset X^*$ не существует такой константы $C<1$, что для каждого подпространства $G\subset X^*$, $G\not\supset\Gamma$, $r(G)\leq cr(\Gamma)$.
Последняя теорема отрицательно решает один вопрос Д. ван Дульста и И. Зингера (РЖМАТ 9Б514, 1976).
Библ. 4.