О соседних коэффициентах нечетных однолистных функций

Рассматривается класс $f_2$ голоморфных однолистных в единичном круге функций
$$ f_2(z)=z+b_1z^3\pm b_2z^5+\dots+b_nz^{2n+1}+\dotsb. $$

1. Теорема. Для каждой функции $f_2(z)\in S_2$ и любой невозрастающей последовательности чисел $\alpha_k\geq0$ ($k=1,2,\dots$), $\sum\limits_{k=1}^\infty\alpha_k<\infty$, справедливо неравенство
$$ \sum_{k=1}^\infty\alpha_k k(|b_k|-|b_{k-1}|)^2\leq A\sum_{k=1}^\infty\alpha_k, $$
где $A$ – абсолютная постоянная, $A<50$.
2. Теорема. Для коэффициентов любой функции $f(z)\in S_2^*$ выполняется неравенство
$$ \bigl||b_n|-|b_{n-1}|\bigr|\leq\frac{A^*}{\sqrt{n}}\quad (n=1,2,\dots), $$
где $A^*$ – абсолютная постоянная, $A^*<40$.