О многомерных теоремах Джексона

Получены многомерные теоремы типа Джексона, в которых постоянная не зависит от размерности пространства.
Пусть $E_n(f;V)$ обозначает наилучшее приближение непрерывной функции $f$ алгебраическими многочленами степени $n$ в метрике $C(V)$, где $V$ – выпуклый центрально-симметричный компакт в $R^m$ с кусочно-гладкой границей;
$$ \omega(f,\tau)=\sup_{\stackrel{|x_1-x_2|\le\tau}{x_1,x_2\in V}} |f(x_1)-f(x_2)| $$
– модуль непрерывности функции $f\in C(V)$.
Теорема. Справедливо неравенство
\begin{equation} E_n(f;V)\leq C_1(1+\varepsilon_n)\omega\biggl(f,\frac{\lambda(V^*)}{n}\biggr), \label{1} \end{equation}
где $C_1$ – абсолютная постоянная, $\lim\limits_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$, $V^*$ – поляра $V$ и $\lambda(\Omega)$ первое собственное значение оператора Лапласа на классе функций $g$, $g|{\partial\Omega}=0$. В случае $V=\biggl\{x\in R^m:\sum\limits_{i=1}^m|x_i|^q\leq1, 1\leq q\leq\infty\biggr\}$ неравенство \eqref{1} неулучшаемо по размерности пространства.
Библ. 17.