Оценка смешанной $p$-нормы через $p$-нормы меньшей кратности

Пусть $\mathbf p=(p_1,\dots,p_n)$, $0<p\leq\infty$, $i\in\{1,\dots,n\}$; $a\in R^n$; $(e_j,a_j)$ – семейство подмножеств $e_j\in\{1,\dots,n\}$ и векторов $a^j\in R^n$ с компонентами $a^j_i=0$ при $i\neq e_j$; $(\theta_j)$ – семейство действительных чисел $\theta_j>0$; $J$ – конечное множество индексов $j$; если $e=\{i_1,\dots,i_r)\}$ и $i_1<\dots i_r$, то по определению $\|\cdot\|_{\mathbf p;e}=\|\dots\|\cdot\|_{p_{i_1}}\dots\|\cdot\|_{p_{i_r}}$, $\|f\|_{\mathbf p;\varnothing}=f$, $\|\cdot\|_{\mathbf p}=\|\cdot\|_{\mathbf p;(1,\dots,n)}$, $\displaystyle \|f\|_{p_i}= \biggl(\int_R|f(x)|^{p_j}\,dx_i\biggr)^{1/p_i}$.
Найдены необходимые и достаточные условия на $\mathbf p$, $a$, $(e_j,a^j)$, $(\theta_j)$, при которых существует постоянная $C$ такая, что если для всех $j\in J$ $0\leq f\leq f_j$ и $f_j$ не зависит от переменных $x_i$ с $i\notin e_j$, то
$$ \|fe^{ax}\|_{\mathbf p}\leq C\prod_{j\in J}\bigl\|f_je^{a^jx}\bigr\|_{\mathbf p;e_j}^{\theta_j}. $$

Библ. 2.