О стабилизации решений некоторого класса квазилинейных параболических уравнений при $t\to\infty$

Исследуется поведение решений $u(x,t)$ задачи Коши для уравнения $u_t-\Delta u-(1-u^2)u=0$, удовлетворяющих краевому условию $u(x,t)\to1$ при $|x|\to\infty$, и поведение решений $u(x,t)=u_1(x,t)+iu_2(x,t)$ задачи Коши для уравнения $u_t-\Delta u-(1-|u|^2)u=0$, удовлетворяющих краевому условию $u(x,t)\to|x|\to\infty$, при $t\to\infty$. Доказывается, что они стремятся к единице при $t\to\infty$, если размерность $n$ пространства $x$ не меньше трех и если
$$ \underset{x\in E^n}{\operatorname{vrai\,max}}|u(x,0)-1|<\infty, \quad \int_{E^n}(1+|x|^2)|u(x,0)-1|^2dx<\infty. $$

Задачи сводятся к исследованию функций $v(x,t)=u(x,t)-1$.
Библ. 2.