Об экстремальных квазиконформных отображениях с заданным граничным соответствием

Доказываются две теоремы, касающиеся необходимых условий экстремума в задаче минимизации функционала Дирихле $D_\rho[w]=\iint_{|z|<1}\bigl[|w_z|^2+|w_{\bar{z}}|^2\bigr]\rho(w(z)\,dxdy)$ в классе $Q(\omega;k)$ $k$-квазиконформных автоморфизмов $w(z)$ круга $|z|\le1$, принимающих на окружности $|z|=1$ заданное значение $\omega(z)$. Эти теоремы аналогичны известным необходимым условиям экстремума в задаче Гретша–Тейхмюллера о минимизации функционала $K[w]$ в классе $Q(\omega)=\bigcup_{0\le k<1}Q(\omega;k)$ и распространяются по известной схеме на квазиконформные отображения открытых римановых поверхностей. Доказывается также теорема существования в $Q(\omega)$ обобщенных гармонических гомеоморфизмов $w_0(z)$, для которых функция $\rho(w_0(z))w_{0z}\bar w_{0z}$-голоморфна в круге $|z|<1$.
Библ. 14.