Топологическое и метрическое строение $k$-седловых поверхностей

Пусть $F$ – полная поверхность в $E^{n+m}$. Назовем$F$ – $K$- седловой, если для любой плоскости $E^r$ ($2\leq r<n+m$) $H_{k+1}(F,F\cap F^r)=0$ (где $H_{k+1}$ обозначает $k+1$-мерную группу гомологии Виетториса с коэффициентами в группе целых чисел).
Для поверхностей класса $C^3$ доказана эквивалентность следующих условий:
$\alpha$) $F$ – $K$-седловая.
$\beta$) Для каждой точки $X\in F$ и всякой нормали $\nu$ в точке $x$ вторая квадратичная форма для $\nu$ может быть приведена к виду
$$ a_1^2dx_1^2+\dots+a_idx_i^2-a^2_{i+1}dx^2_{i+1}-\dots-a^2_{i+j}dx^2_{i+j}, \quad\text{где}\quad i,j\leq k. $$

$\gamma$) 1). Для всякой точки $x\in F$ и произвольных линейно независимых векторов $e,e_1,\dots,e_k$, касательных к $F$ в точке $x$, существует $e^*=\sum a_ie_i+ae$ такой, что риманова кривизна $F$ в двумерном направлении, определяемом $e$ и $e^*$, равна $0$.
2) Свойство 1) сохраняется при любом невырожденном аффинном преобразовании $E^{n+m}$.
Библ. 7, илл. 1.