Об односторонней задаче, связанной со слабо нелинейным параболическим оператором

Изучается односторонняя задача, связанная с параболическим оператором четвертого порядка с операторным коэффициентом при младшем члене. Пусть $K$ – произвольное замкнутое выпуклое множество в $L^2(\Omega)$, содержащее нулевой элемент, $Q=\Omega\times [0,T]$, $\Omega\subset R^2$. Доказана следующая
Теорема. Если $f,f'\in L^2(Q)$, $u_0\in H^4(\Omega)\cap H_0^2(\Omega)$, $u_1\in H_0^2(\Omega)$, $u_1\in K$, то существует и притом единственная функция $u$ такая, что
\begin{gather} u\in L^\infty(0,T;H_0^2(\Omega)),\quad u'\in L^\infty(0,T;H_0^2(\Omega)),\quad u''\in L^\infty(0,T;L^2(\Omega)),\notag\\ u'(t)\in K\quad\text{п.в.},\quad u(0)=u_0,\quad u'(0)=u_1,\notag\\ \int_0^T\biggl(u''+\Delta^2 u-\Delta u\int_\Omega(\operatorname{grad} u)^2dx\,dy,v-u'\biggr)\,dt\geq0 \notag \end{gather}
для любой $v\in L^2(0,T;H_0^2(\Omega))$, $v(t)\in K$ п.в.