Тензорное произведение функторов

Определяется бифунктор тензорного умножения ковариантного функтора $F\in\mathfrak F(\mathfrak D,\mathbf E)$ на контравариантный функтор $G\in\mathfrak F^0(\mathfrak D,\mathbf E)$ из малой категории $\mathfrak D$ в категорию $\mathbf E$, удовлетворяющую естественным условиям. Зафиксировав функтор $G\in\mathfrak F^0(\mathfrak D,\mathbf E)$, получаем функтор $-\otimes G\colon\mathfrak F(\mathfrak D,\mathbf E)\to\mathbf E$ который обладает правым сопряженным функтором $(-)^G\colon\mathbf E\to\mathfrak F(\mathfrak D,\mathbf E)$. При некотором $G\in\mathfrak F^0(\mathfrak D,\mathbf E)$ функтор $-\otimes G=\operatorname{Colim}$. Функтор $G\in\mathfrak F^0(\mathfrak D,\mathbf E)$ называется плоским, если функтор ${-}\otimes G$ сохраняет мономорфизмы. Если категория $\mathbf E$ обладает коинтегральным, инъективным объектом $\Omega\in\operatorname{Ob}\mathbf E$, то имеет место следующий критерий плоскости: функтор $G$ является плоским тогда и только тогда, когда $\Omega^G$ – инъективный объект категории $\mathfrak F(\mathfrak D,\mathbf E)$.
Рассматриваются приложения теории в случае, когда категория $\mathbf E$ совпадает с категорией всех множеств $\mathfrak S$. Доказывается, что если все функторы $G\in\mathfrak F^0(\mathfrak D,\mathfrak S)$ плоские, то категория $\mathfrak D$ регулярна в смысле фон Неймана. Приводятся необходимые и достаточные условия на категорию $\mathfrak D$, при которых функтор $\operatorname{Colim}\colon\mathfrak F(\mathfrak D,\mathfrak S)\to\mathfrak S$ сохраняет мономорфизмы.