О базисе из собственных функций одного пучка дифференциальных операторов

Рассматривается спектральная задача
\begin{equation} L(\lambda)u=\lambda^2\Delta u+\lambda A_1 u+A_0 u;\quad u\bigr|_{\partial\Omega}=0. \label{1} \end{equation}

$A_i u=\alpha_i u_{xx}+\beta_i u_{xy}+\gamma_i u_{yy}$, ($i=0,1$); $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ – произвольные действительные числа; $\Omega$ – круг на плоскости $(x,y)$. Спектральная задача \eqref{1} сводится к спектральной задаче для некоторого ограниченного оператора $A$, действующего в пространстве $H(\Omega)=\overset\circ{W}{}^1_2(\Omega)\times\overset\circ{W}{}^1_2(\Omega)$ – прямом произведении двух копий пространства С. Л. Соболева $\overset\circ{W}{}^1_2(\Omega)$. В терминах коэффициентов дифференциальных выражений $A_i$ даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы система собственных функций оператора $A$ образовывала базис Рисса в пространстве $H(\Omega)$.