Особый случай интегрального уравнения Винера–Хопфа

Исследуется следующее интегральное уравнение Винера–Хопфа:
\begin{equation} \varphi(t)=\int_0^\infty a(t-\eta)\varphi(\eta)\,d\eta+f(t),\quad t>0, \label{1} \end{equation}
где $a(x)\in L_1(-\infty,+\infty)$, $f(t)$ – заданная, а $\varphi(t)$ – искомая ограниченные функции. Символом уравнения \eqref{1} называется функция $\sigma(x)=1-A(x)$, где $A(x)$ – преобразование Фурье функции $a(x)$. Предполагается, что символ $\sigma(x)$ отличен от нуля всюду, кроме точек $x_1,\dots,x_k$, и представляется в виде
$$ \sigma(x)=(x-x_1)^{\beta_1}\dots(x-x_k)^{\beta_k}\sigma_0(x), $$
где $\beta_j$, ($j=1,\dots,k$) – постоянные числа, $\operatorname{Re}\beta_j>0$, а $\sigma_0(x)$ имеет отличные от нуля пределы слева и справа в точках $x_1,\dots,x_k$. Получено необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения \eqref{1} и формула решений.
Библ. 10.