К абстрактной теории оптимального управления. I

Первая из серии статей автора, посвященных построению одного варианта абстрактной теории оптимального управления и применению этой теории к конкретным задачам. Пусть $X,U,Y$ – линейные нормированные пространства, $U_d \subset U$, $F\colon X\times U\to Y$, $\Phi\colon X\times U\to R'$ и $(x^0,u^0)\in X\times U$ – локально-минимальная точка функционала $\Phi$ на множестве $F(x,u)=0_Y$, $u\in U_d $. Пусть $l^*\in Y^*$, $\lambda\geq0$, $L(x,u)=\lambda\Phi(x,u)+l^*F(x,u)$ и известен “пучок кривых” $u(\varepsilon,\mu)\in U_d $ ($\varepsilon\in[0,\varepsilon_\mu]$ – параметр кривой , $\mu\in \mathfrak M$ – элемент, “нумерующий” кривые), $u(0,\mu)\subset u^0$ $\forall\mu\in\mathfrak M$.
Основной результат: при выполнении ряда условий существуют такие $\lambda\geq0$ и $l^*$ ($\lambda+|l^*|\neq0$), что $L'_x(x^0,u^0)=0$, $\delta_uL(x^0,u^0|\mu)\geq0$ $\forall\mu\in\mathfrak M$. Здесь $L'_x(x^0,u^0)$ – производная Гато или Фреше, $\delta_uL(x^0,u^0|\mu)$ – определенная естественным образом производная $L(x^0,u)$ вдоль кривой $u(\varepsilon|\mu)$в точке $u^0$. В этой статье рассматривается случай, когда уравнение $F(x,u)=0_Y$ разрешимо относительно $x$ при любом $u\in U_d$. Рассмотрены также случаи обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаздыванием.