О свойстве Харди–Литтлвуда для симметричных пространств

В работе изучаются свойства симметричных пространств, группирующиеся вокруг свойства Харди–Литтлвуда. Лоренц и Шимогаки нашли необходимые и достаточные условия, при которых максимальное симметричное пространство $X$ обладает этим свойством. В статье показано, что требование максимальности является излишним (теорема 2.1).
Через $\Omega(x)$ обозначается орбита элемента $x\in X$ относительно множества линейных операторов, действующих в $L_1$ и $L_\infty$ с нормами, не превосходящими единицы. Доказано (теорема 3.1), что свойство Харди–Литтлвуда влечет совпадение $\Omega(x)$ с замыканием в норме $X$ выпуклой оболочки своих крайних точек при всяком $x\in X$. Для пространств Марцинкевича верно обратное утверждение (теорема 4.1).