О коэффициентах разложения одного класса функций по полным системам

При каждом $N>1$ определим на отрезке $[0,1]$ набор функций $\{F_j^N(x)_{j=1}^N\}$ следующим образом:
\begin{align} F_j^N(x)&= \begin{cases} 0,&\text{если}\quad x<j/N,\\ 1,&\text{если}\quad x\geq j/N, \end{cases} \notag\\ j&=1,2,\dots,N.\notag \end{align}

В работе доказывается несколько неравенств для коэффициентов разложения функций $F_j^N(x)$ (и близких к ним) по полным системам. Эти неравенства полезны при решении ряда задач теории функций.