Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта

Рассматривается класс систем нелинейных дифференциальных уравнений, встречающихся в теории адаптивного управления. Установлены необходимые и достаточные условия существования у систем рассматриваемого класса функции Ляпунова стандартного вида (сумма квадратичной формы от состояния объекта и квадратичной функции от настраиваемых коэффициентов регулятора). Дается определение адаптивности систем рассматриваемого класса, соответствующее общей постановке задачи об адаптивном управлении, предложенной В. А. Якубовичем. Показывается, что существование функции Ляпунова указанного вида обеспечивает адаптивность системы. Доказательство упомянутых результатов опирается на теорему 1, дающую необходимые и достаточные и условия существования матриц $H=H^*>0$, $C$, удовлетворяющих неравенству $HA(C)+A^*(C)H+R<0$ и уравнению $HB=LG$, где $A(C)=A+BC^*L^*$; $A$, $B$, $L$, $G$, $R$ – заданные матрицы.