Конечные простые группы, силовские $2$-подгруппы которых имеют циклический коммутант

Доказывается следующая
Теорема. Пусть $G$ – простая конечная группа с силовской $2$-подгруппой $T$. Если $T$ имеет циклический коммутант порядка $2^m$ , $m\ge1$,то $T$ изоморфна одной из групп $D_{2^{m+2}}$, $S_{2^{m+2}}$, $Z_{2^m}\wr Z_2$.
Если $n=2^m$, то $D_n$, $S_n$, $Z_n$ означают соответственно группу диэдра, полудиэдралъную и циклическую группу порядка $n$.