Теоремы двойственности в некоторых невыпуклых экстремальных задачах

В работе рассматривается следующая задача. Найти условия, которым должны удовлетворять вещественные функции $F(x)$, $G_1(x)$, …, $G_m(x)$ и множество их задания $X$, чтобы из соотношения
\begin{equation} F(x)\geq0\quad\text{при}\quad G_1(x)\geq0,\dots,G_m(x)\geq0,\quad x\in X, \label{1} \end{equation}
следовало бы, что
\begin{equation} \exists \tau_j\geq 0,\quad j=1,\dots,m:\quad F(x)-\sum_{j=1}^m\tau_jG_j(x)\geq0\quad \forall x\in X. \label{2} \end{equation}
Очевидно, из \eqref{2} следует \eqref{1}. Задача состоит в том, чтобы выяснить, когда \eqref{1} и \eqref{2} равносильны. Справедливость утверждения, что из \eqref{1} следует \eqref{2}, связана со справедливостью теоремы двойственности в некоторой задаче математического программирования, для приложений наиболее интересен невыпуклый случай.
В работе установлен ряд необходимых и достаточных условий равносильности \eqref{1} и \eqref{2} (в различных терминах). Рассмотрен случай строгого неравенства $F(x)>0$ в \eqref{1}, а также случай ограничений в виде равенств. С помощью полученных критериев дано новое доказательство известных результатов о том, что при $m=1$ из \eqref{1} всегда следует \eqref{2}, если $F(x)$ и $G(x)$ – знакопеременные квадратичные (эрмитовы) формы на вещественном (комплексном) линейном пространстве $X$, а также новое доказательство недавно полученного результата о том, что при естественных ограничениях из \eqref{1} следует \eqref{2} в случае, когда $m=2$ и $F(x)$, $G_1(x)$, $G_2(x)$ – эрмитовы формы на комплексном линейном пространстве. Отметим, что если $m=2$ и $F(x)$, $G_1(x)$, $G_2(x)$ – вещественные квадратичные формы на вещественном линейном пространстве, то из \eqref{1}, вообще говоря, не следует \eqref{2}.
В работе показано, что эти результаты являются простыми следствиями из геометрии евклидова пространства квадратичных форм с лежащим в нем выпуклым конусом неотрицательных форм.
Кроме того, в работе получен ряд результатов о случаях, когда из \eqref{1} следует \eqref{2}. На их основе полностью решена задача для случая, когда $F(x)$, $G_1(x)$, …, $G_m(x)$ – квадратичные или эрмитовы формы от двух переменных, а также исследуется случай, когда $m=1$ и $F(x)$, $G(x)$ – формы 4-ой степени от двух вещественных переменных.