Неравенства Харди с дополнительными слагаемыми и уравнения типа Лэмба

Исследованы интегральные неравенства типа Харди с дополнительными слагаемыми для непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями в выпуклых областях с конечным внутренним радиусом. Получены новые $L_1$- и $L_p$-неравенства, константы которых зависят от постоянной Лэмба — первого положительного решения специального уравнения для функции Бесселя. В некоторых частных случаях константы точные. Получены одномерные неравенства и их многомерные аналоги. Весовые функции в пространственных неравенствах содержат степени функции расстояния до границы области. Также доказано монотонное убывание функции, зависящей от функции Бесселя. Это свойство существенно используется при доказательстве одномерных неравенств. Полученные неравенства распространяют соответствующие неравенства, доказанные Ф. Г. Авхадиевым и Вирсом для $p= 2$, на случай произвольного $p \geq 1$.