Дискретный спектр бесконечных пластин Кирхгофа в виде локально возмущенной полосы

Изучен дискретный спектр краевых задач для бигармонического оператора, описывающих собственные колебания пластины Кирхгофа в виде локально возмущенной полосы с жестко защемленными или свободно опертыми кромками. Применяются два метода: вариационный и асимптотический. Первый показывает, что при сужении пластины дискретный спектр пуст в обоих случаях, но при ее расширении ниже точки отсечки непрерывного спектра появляется по крайней мере одно собственное число при жестко защемленных кромках; вместе с тем при свободно опертых кромках вопрос о наличии дискретного спектра остался открытым. Асимптотический метод работает только при малых вариациях границы. Если при гладком малом возмущении построение асимптотики в целом одинаково для обоих типов краевых условий, то при возмущении, имеющем угловые точки, асимптотические формулы для собственного чисел могут существенно различаться даже в основном поправочном члене.