О сходимости к мере Дирака и к тождественному оператору

Устанавливается, что для каждой точки $z$ компактного пространства $X$ и любой последовательности $(\mu_n)$ положительных (радоновских) мер, такой, что $\lim\limits_n\mu_n(h)\ge h(z)$ для всех $h$ из выпуклого замкнутого конуса $H$, последовательность $(\mu_n)$ слабо сходится к мере Дирака в точке $z$ в том и только том случае, когда $H$ супремально порождает $C(X)$. Последнее означает, что для всякой непрерывной функции $f\in C(X)$ найдется $A\subset H$ такое, что $f=\sup A$. Аналогичный результат устанавливается для сходимости последовательности положительных линейных операторов в $C(X)$ к тождественному оператору.