О бесконечных произведениях классов групп

Известно, что система всех (наследственных) радикальных классов групп образует подгруппу, причем в этой подгруппе на основе понятия верхнего радикального ряда можно определить и произведение любого бесконечного упорядоченного семейства радикалов. Аналогично система всех предмногообразий групп также образует полугруппу (класс групп $\mathfrak{X}$ называется предмногообразием, если он замкнут относительно взятия подгрупп и декартовых произведений). В этой подгруппе также можно определить произведение любой бесконечной упорядоченной системы предмногообразий, но уже на основе нижнего вербального ряда.
Автором ранее было доказано, что каждый радикальный класс $\mathfrak{X}$ либо является идемпотентом (т. е. $\mathfrak{X}=\mathfrak{X}^2$) , либо все его степени $\mathfrak{X}^\alpha$ для всех трансфинитных $\alpha$ различны. В настоящей работе аналогичный результат доказывается для предмногообразий. Как частный случай здесь содержится теорема А. И. Мальцева о существовании $RK$-группы с убывающим рядом коммутантов произвольной длины. Приводится необходимое и достаточное условие для того, чтобы произвольное произведение $\Pi_{\alpha=1}^{\Upsilon}\mathfrak{X}_\alpha$ радикалов было идемпотентом. Точно такой же критерий доказан и для предмногообразий. Имеется еще несколько результатов, относящихся к этим вопросам, среди которых отметим следующий: если $\Pi_{\alpha=1}^\Upsilon\mathfrak{X}_\alpha$ и $\Pi_{\beta=1}^\delta\Upsilon_\beta$ – два бесконечных произведения неединичных неразложимых многообразий и если $\Pi_{\alpha=1}^v\mathfrak{X}_\alpha=\Pi_{\beta=1}^\delta\Upsilon_\beta$, то $\gamma=\delta$.