Математическая формулировка теории физических структур

Концепция физической структуры дает единый логический подход к основаниям различных физических теорий. В общих чертах эта концепция состоит в следующем. Имеются два множества $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$ объектов произвольной структуры. Каждой паре $(i,\alpha)\in\mathfrak{M}\times\mathfrak{R}$ сопоставляется некоторое число $a_{i\alpha}$. Зададим два натуральных числа $m$ и $n$ и будем рассматривать всевозможные системы из $mn$ чисел $\|a_{i_r\alpha_s}\|$ ($r=1,\dots,m;s=1,\dots,n$), где $i_r$ и $\alpha_s$ – произвольные элементы множеств $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$ соответственно. Эту систему можно рассматривать как точку в $mn$-мерном арифметическом пространстве $R^{mn}$. Если потребовать, чтобы эти точки лежали в $R^{mn}$ на многообразии размерности $mn-1$, то оказывается, что указанные многообразия могут быть только многообразиями вполне определенных типов. В статье рассмотрен простейший случай $m=n=2$ и показано, что многообразие, реализующее физическую структуру ранга $(2,2)$, с точностью до несущественных преобразований имеет вид $\Phi(a_{i\alpha},a_{i\beta},a_{k\alpha},a_{k\beta})=a_{i\alpha},a_{k\beta}-a_{i\beta}a_{k\alpha}$.