Пример функции, не удовлетворяющей никакому линейному однородному дифференциальному уравнению бесконечного порядка с постоянными коэффициентами

Строится некоторое множество аналитических функций, не удовлетворяющих ни одному уравнению вида
\begin{equation} \sum_{n=0}^\infty a_n y^{(n)}(z)=0, \label{1} \end{equation}
где $a_n$ – постоянные числа (в частности, уравнение может быть и конечного порядка).
Теорема. Пусть $Q$ – множество аналитических в окрестности нуля функций $y(z)$, удовлетворяющих условиям:
\begin{gather} A_1)\quad \varlimsup_{m\to\infty}\sqrt[n]{\biggl|\frac{y^{(m)}(0)}{m!} \biggr|} <+\infty;\notag\\ A_2)\quad y^{(k)}(0)\neq0\quad (k=0,1,2,\dots)\notag \end{gather}
$A_3)$ при любом фиксированном $m=0,1,2,\dots$
$$ \varliminf_{s\to\infty}T_{s,m}=0,\quad\text{где}\quad T_{s,m}=\sum_{k=1}^\infty\frac{|y^{(k+s+m)}(0)|} {|y^{(m+s)}(0)|\,|y^{(k+m)}(0)|}. $$
Тогда любая $y(z)$ из $Q$ не является аналитическим решением в точке $z=0$ ни одного уравнения вида \eqref{1}.
Замечание 1. Аналитическую в точке $z=0$ функцию $y(z)$ называют аналитическим решением уравнения \eqref{1} в точке $z=0$, если ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_ny^{(n)}(z)$ сходится равномерно к нулю в некоторой окрестности начала координат.
Замечание 2. Множество $Q$ непусто; в частности, оно содержит в себе все функции $y(z)$, для которых при некоторых $\alpha=\alpha(y)$ и $d=d(y)$ ($\alpha>0$, $d>0$)
$$ \sup|y^{(k)}(0)|k!^\alpha d^{-k}<+\infty; \quad \inf_{k\geq0}|y^{(k)}(0)|k!^\alpha d^{-k}>0. $$