О решении одного функционального уравнения в действительной области

Рассматривается вопрос о решении в действительной области уравнения
$$ M(F)=\sum_{n=0}^\infty c_nD^nF(x)=0, $$
где
$$ DF(x)=F^{(s)}(x)+p_1(x)F^{(s-1)}(x)+\dots+p_s(x)F(x), \quad D^n=D(D^{n-1}), $$
и характеристическая функция $L(\lambda^s)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\lambda^{sn}$ принадлежит классу $[1,0]$.
Если $y(x,\mu)$ – решение уравнения $Dy=\mu^sy$, удовлетворяющее начальным условиям: $y(0,\mu)=1$, $y'(0,\mu)=\mu$, …, $y^{(s-1)}(0,\mu)=\mu^{s-1}$ и $\{\mu_i\}$ – корни кратности $\nu_i$ функции $L(\lambda^s)$, то
$$ y^{(k)}_{ij}(x)=\frac{\partial^k}{\partial \mu^k} y(x,\mu)\bigr|_{\mu=\varepsilon^j\mu_i}, \quad \varepsilon=\exp(2\pi i/s) $$
($k=0,1,\dots,\nu_i-1$; $j=0,1,\dots,s-1$; $i=1,2,\dots$) называем элементарными решениями уравнения $M(F)=0$. Произвольному решению $F(x)$ уравнения $M(F)=0$ ставится в соответствие ряд из элементарных решений, строятся формулы для частной суммы и остатка ряда. Исходя из формулы для остатка, проводится оценка последнего.