Асимптотические ряды для решения задачи Коши

Рассматриваем решение $y(x,z)$ задачи Коши
\begin{gather} y_x^{(n)}+p_1(x,z)y_x^{(n-1)}+\dots+p_{n-1}(x,z)y_x'+p_n(x,z)y=0, \label{1}\\ y_x^{(k)}(0,z)=r_k\quad (k=0,1,\dots,n-1);\notag \end{gather}
здесь $x\in [0,1]$, a $z$ – комплексный параметр, который входит в уравнение полиноминально;
$$ p_\alpha(x,z)=\sum_{\beta}^\alpha p_{\alpha\beta}(x)z^\beta,\quad 0\leq\alpha\leq n. $$

В предположении, что функции $p_{\alpha\beta}$ бесконечно дифференцируемы, $p_{\alpha\alpha}$ не зависят от $x$, а многочлен $f_0(\omega)=\sum\limits_{\alpha=0}^n p_{\alpha\alpha}\omega^{n-\alpha}$ не имеет кратных корней, для целой по $z$ функции $y(x,z)$ имеем асимптотическое при $z\to\infty$ разложение
\begin{equation} y(x,z)\sim\sum_{s=1}^n e^{\omega_szx}\sum_{\nu=0}^\infty\frac{b_{\nu,s}(x)}{z^\nu}. \label{2} \end{equation}

Доказывается, что если $p_{\alpha\beta}(x)$ – многочлены по $x$, то
\begin{equation} |b_{\nu,s}(x)|\leq C\nu^{\nu\gamma},\quad \gamma<1. \label{3} \end{equation}
Эта оценка позволяет регуляризовать ряды \eqref{2} и получить с их помощью приближения $y(x,z)$ квазиполиномами с наперед заданной точностью в области $|z|\leq R$, $0\leq z\leq 1$. Примером показано, что оценка \eqref{3} в принципе не улучшаема.