Об операторных $R$-функциях

Функцию $F(\lambda)$, определенную при $\operatorname{Im}\lambda\ne0$, со значениями в кольце ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ относят к классу $(R)_{\mathfrak{H}}$, если она голоморфна, $\bar F(\lambda)^*=F(\lambda)$, $\operatorname{Im}F(\lambda)\ge0$ при $\operatorname{Im}\lambda>0$, Если, кроме того, $\sup\limits_{\operatorname{Im}\lambda}\{\operatorname{Im}\lambda\|F(\lambda)\|\}<\infty$, то $F(\lambda)$ относят к классу $(R_0)_{\mathfrak{H}}$.
Основная теорема. Пусть $[F_{ij}(\lambda)]_1^2$ – матричное представление функции $F(\lambda)\in(R)_{\mathfrak{H}}$ относительно некоторого ортогонального разложения $\mathfrak{H}=\mathfrak{H}_1\oplus\mathfrak{H}_2$. причем $F_{22}(\lambda)\in(R_0){\mathfrak{H}_2}$. Тогда $F_{12}(\lambda)$ и $F_{21}(\lambda)$ имеют сильные пределы, когда $\lambda\to\infty$ по мнимой оси. Если эти пределы равны нулю, то функция $F_{22}(\lambda)-F_{12}(\lambda)[F_{11}(\lambda)+\theta(\lambda)]^{-1}F_{12}(\lambda)$ входит в класс $(R_0)_{\mathfrak{H}_2}$, какова бы ни была функция $\theta(\lambda)$ класса $(R)_{\mathfrak{H}_1}$.