Об одном свойстве единственности

Пусть $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ – фиксированная целая функция конечного порядка $\rho$ и нормального типа $\sigma$, причем $a_n\neq0$ ($n=0,1,2,\dots$), $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/\rho}\sqrt[n]{|a_n|}=(\sigma e\rho)^{1/\rho}$, $L(\lambda)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_k\lambda^k$ – целая функция конечного порядка $\rho_1>\rho$ и типа $\sigma_1$. Обозначим через $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,\dots$ нули функции $L(\lambda)$, расположенные в порядке возрастания их модулей.
Возьмем произвольную целую функцию $F(z)=\sum_{0}^\infty b_nz^n$ порядка $\rho_2$ и типа $\sigma_2$ такую, что выполнено одно из условий:
(A) $\rho_2<\rho_1\rho/(\rho_1-\rho)$, (B) $\rho_2=\rho_1\rho/(\rho_1-\rho)$, $(\sigma_2\rho_2)^{1/\rho_2}(\sigma_1\rho_1)^{1/\rho_1}<(\sigma\rho)^{1/2}$.
Положим
$$ \omega_L(\mu,F)=\sum_{k=1}^\infty c_k\biggl[ b_{k-1}\frac{a_0}{a_{k-1}}+\mu b_{k-2}\frac{a_0}{a_{k-2}}+\dots+\mu^{k-2}b_1\frac{a_0}{a_1}+\mu^{k-1}b_0\biggr]. $$

Функции $F(z)$ поставим в соответствие ряд
\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty K_n(z),\quad K_n(z)=\frac1{2\pi i}\int_{B_n} \frac{\omega_L(\mu,F)}{L(\mu)f(0)}f(\mu z)\,d\mu; \label{1} \end{equation}
здесь $B_n$ – замкнутый контур, внутри которого лежит нуль $\lambda_n$ функции $L(\lambda)$ и нет других нулей этой функции.
Теорема. Если $L(\lambda)$ имеет бесконечно много нулей и все члены $K_n(z)=0$, то $F(z)\equiv0$.