О групповых кольцах линейных групп

Пусть $G$ – линейная группа над полем $P$ характеристики $p$, $PG$ – групповое кольцо группы $G$ над полем $P$.
Если $p=0$, то нетрудно показать, что радикал Джекобсона $JPG$ кольца $PG$ равен $0$. В случае положительной характеристики даже в виде предположения нет критерия, выражающего в групповых терминах тот факт, что кольцо $PG$ полупросто. Назовем $fp$-группой конечную группу, порядок которой делится на $p$. Как показал Пассман, $PG$ не содержит нильпотентных идеалов, если $G$ не имеет инвариантных $fp$-подгрупп.
Теорема. Пусть $G$ – линейная группа над алгебраически замкнутым полем $P$ характеристики $p>0$, не содержащая инвариантных $p$-подгрупп. $JPG=0$ тогда и только тогда, когда $G$ не содержит инвариантных $fp$-подгрупп.