Одно свойство неприводимых образов экстремально несвязных гиперстоуновых бикомпактов и его приложение к теории полуупорядоченных пространств

Доказывается, что хаусдорфов неприводимый образ бесконечного гиперстоунова бикомпакта $Q$ не может быть локально связным. Этот результат означает, что на $S$ нет локально конечной регулярной борелевой меры, строго положительной на открытых и аннулирующейся на нигде не плотных множествах. Заметим, что $Q$ всегда имеет в качестве хаусдорфова неприводимого образа бикомпакт, не являющийся вполне несвязным. С помощью этого результата показывается, что если $X$ – векторная структура вещественных непрерывных функций на локально связном бикомпакте без изолированных точек, содержащая константы и разделяющая точки, то в $X$ нет ненулевых вполне линейных (т. е. непрерывных в порядковой топологии в $X$) функционалов. Ранее этот результат был известен для $X=C([0,1])$. Формулируются нерешенные вопросы.