О нормированных структурах с полунепрерывной нормой

Элемент $x$ $KN$ – пространства $X$ назовем сильным, если найдется такой $f\in X^*\cap\bar X$, что $\|f\|=1$ и $f(x)=\|x\|$.
Теорема. Для $KN$ – пространства $X$ с достаточным множеством вполне линейных функционалов следующие утверждения эквивалентны: 1) Норма в $X$ универсально полунепрерывна; 2) Для любого $x\in X$ и любого $\varepsilon>0$ найдется сильный элемент $y\in X$, такой, что $\|x-y\|<\varepsilon$; 3) Для любого $x\in X_\perp$ и любого $\varepsilon>0$ найдется сильный элемент $y\in X$ такой, что $(1-\varepsilon)x\le y\le(1+\varepsilon)x$.