Явление Гиббса для мультипликативных систем типа Уолша и типа Виленкина–Джафарли

1. Строятся мультипликативные периодические ортонормированные системы типа Уолша и типа Виленкина–Джафарли как системы, соответствующие характерам компактных коммутативных топологических групп. Описываются обобщенные операции сложения $(+)$ и вычитания $(-)$ чисел отрезка $[0,1]$ для этих систем. Формулируется
Теорема. Если $F(x)$ – функция с ограниченным изменением, не имеющая устранимых разрывов, то для частных сумм ее ряда Фурье по системам типа Уолша и типа Виленкина–Джафарли имеет место явление Гиббса в каждой изолированной $\{p_n\}$-ично иррациональной точке разрыва, при условии что $p_n\leq N$ ($n=0,1,\dots$).
Для неограниченных последовательностей $\{p_n\}$ явление Гиббса в таких точках может и не быть. В $\{p_n\}$-ично рациональных точках разрыва явление Гиббса не наблюдается для любых последовательностей $\{p_n\}$.
Обобщается понятие явления Гиббса на случай мультипликативных периодических систем.
2. Доказывается сформулированная выше теорема для конкретной функции
\begin{equation} f(x)=\begin{cases} 1/2&\text{при}\quad x\in(0,\alpha),\\ 0&\text{при}\quad x=\alpha,\\ -1/2&\text{при}\quad x\in(\alpha,1). \end{cases} \notag \end{equation}
Строится пример последовательности простых чисел $\{p_n\}$, у которой $\varlimsup\limits_{n\to\infty}p_n=\infty$, но явление Гиббса все же имеет место;
3. Доказывается теорема для произвольной функции $F(x)$ с ограниченным изменением на отрезке $[0,1]$ посредством построения непрерывной функции
$$ \varphi(x)=[F_1(x)-d_1f(x)]+i[F_2(x)+d_2f(x)], $$
где $F(x)=F_1(x)+iF_2(x)$, $d_j=F_j(\alpha+0)-F_j(\alpha-0)$ ($j=1,2$) и $f(x)$ — функция из п. 2.