Некоторые оценки для выпуклых поверхностей с ограниченной функцией кривизны

В $(n+1)$-мерном евклидовом пространстве рассмотрим $n$-мерную единичную сферу $E$ и выпуклое ограниченное тело $T$. Обозначим, через $\omega$ множество точек сферы $E$, а через $\sigma(\omega)$ – множество всех точек поверхности тела $T$, в которых имеется опорная плоскость с единичной нормалью из $\omega$. Если $\sigma(\omega)$ – измеримое множество, то множеству $\omega$ сопоставим число, равное площади $\sigma(\omega)$. Таким образом, на $E$ определена функция множества $F(T,\omega)$, которая называется поверхностной функцией тела $T$. Как показал А. Д. Александров, при $\lambda\geq0$
$$ F(T+\lambda\bar E,\omega)=\sum_{i=0}^n \lambda^iC_n^i F_{n-i}(T,\omega), $$
где $\overline{E}$ – шар, ограниченный $E$.
Функция множества $F_m(T,\omega)$ называется $m$-й функцией кривизны тела $T$. Обозначим через $F^0_m(T,\omega)$ удельную $m$ функцию кривизны.
Основные результаты работы можно сформулировать в виде утверждения: если для любого борелевского множества $\omega\subset E$
$$ 1-\varepsilon\leq F^0_m(T,\omega)\leq 1+\varepsilon\quad (0\leq \varepsilon\leq\varepsilon_n), $$
где $m$ – одно из чисел $1,2,\dots,n$, то для тела $T$
1) диаметр не больше $2+C\varepsilon$;
2) ширина не меньше $2-C\omega^{1/n}$;
3) радиус минимального описанного шара не больше $1+C\varepsilon^{1/n}$;
4) радиус максимального вписанного шара не меньше $1-C\varepsilon^{1/n}$.
Здесь $\varepsilon_n(\varepsilon_n>0)$, $C$ – числа, зависящие только от $n$. Так как для любого $m$ и любого $\omega$ $F^0_m(\bar E,\omega)=1$, то из утверждения следует устойчивость сферы в классе выпуклых поверхностей с ограниченной удельной функцией кривизны.