О сходимости метода механических квадратур для интегральных уравнений с разрывными ядрами

Пусть $D$ – метрический компакт, $\nu$ – положительная конечная регулярная мера на $D$ такая, что $\nu(S(t_0,r))=\nu(\overline{S}(t_0,r))>0$ при $r>0$ для любых открытого шара $S(t_0,r))$ и замкнутого шара $\overline{S}(t_0,r)$. Показано, что для сходимости квадратурного процесса
$$ \int_{D}z(s)\nu(ds)\approx\sum_{j=1}^n \alpha_{jn}z(s_{jn})\quad (n=1,2,\dots), $$
с узлами $s_{jn}\in D$ и коэффициентами $\alpha_{jn}>0$ необходимо и достаточно, чтобы при каждом $n=1,2,\dots$ существовало такое разбиение $D$ на $\nu$-измеримые подмножества $D_{1n},\dots, D_{nn}$, что $\nu(D_{jn}^0)=\nu(D_{jn})=\nu(\overline{D}_{jn})s_{jn}\in D_{jn}$ ($j=1,\dots,n$), причем $\max\limits_{1\leq j\leq n}\operatorname{diam}(D_{jn})\to0$ и $\sum\limits_{j=1}^n|\alpha_{jn}-\nu(D_{jn})|\to0$ при $n\to\infty$. Здесь $D^0_{jn}$ и $\overline{D}_{jn}$ – внутренность и замыкание $D_{jn}$. Опираясь на этот результат, доказывается сходимость метода механических квадратур для интегрального уравнения
$$ x(t)=\int_D K(t,s)x(s)\nu(ds)+f(t), $$
в котором $x(t)$ и $f(t)$ – функции со значениями в банаховом пространстве $X$, а ядро $K(t,s)$ при любых $t,s\in D$ – линейный вполне непрерывный оператор в $X$. Приближенные значения $\xi_{in}\approx x(s_{in})$ определяются из системы
$$ \xi_{in}=\sum_{j=1}^n \alpha_{jn}K(s_{in},s_{jn})\xi_{jn}+f(s_{in})\quad (i=1,\dots,n). $$
Допускаются некоторые разрывы $f(t)$ и $K(t,s)$; в случае, когда $\nu$ – мера Лебега на $D\subset R^m$, соответствующие предположения тесно связаны с интегрируемостью по Риману.