|
Сибирский математический журнал, 1971, том 12, номер 1, страницы 13–24
(Mi smj5851)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
О собственных функциях краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе плоской области
А. И. Ачильдиев
Аннотация:
Пусть $G$ – ограниченная линией $\Gamma$ открытая плоская область и $\gamma_0$ – расположенная на оси $y=0$ часть $\Gamma$, на которой вырождается уравнение
\begin{equation}
Lu\equiv -(Au_x)_x-(Bu_y)_y+C(x,y)u(x,y)=\lambda\sigma(x,y)u(x,y),
\label{1}
\end{equation}
где коэффициенты $A(x,y)$, $B(x,y)$ положительны и принадлежат классу $C_{1,\alpha}$,
а коэффициенты $C(x,y)$, $\sigma(x,y)$ положительны и принадлежат классу $C_{0,\alpha}$, а $\overline{G}-\gamma_0$. Функция $\sigma(x,y)$ суммируема в $G$ и равномерно относительно $\gamma_0$ выполняется соотношение
\begin{equation}
\lim_{y\to0}\frac{\sigma(x,y)}{C(x,y)}=0.
\label{2}
\end{equation}
На границе области ставится одно из условий
\begin{equation}
u|_{\Gamma-\gamma_0}=0\quad [u|_\Gamma=0].
\label{3}
\end{equation}
Пусть для любого вещественного $\lambda$ существует положительная функция
$w_\lambda(x,y)$, равномерно относительно $\gamma_0$
стремящаяся к бесконечности при $y\to0$ и такая, что $Lw_\lambda-\lambda\sigma w_\lambda>0$ в некоторой окрестности $\gamma_0$ (существует функция
$v_\lambda(x,y)$, называемая “барьером”). Тогда задача \eqref{1}, \eqref{3} имеет счетную неубывающую с ростом номера последовательность положительных собственных значений $\lambda^{(k)}$ с единственной предельной точкой в бесконечности и соответствующая им система ограниченных в $G$ собственных функций $u^{(k)}(x,y)\in C_{2,\alpha}(G)$ является полной ортонормированной в гильбертовом пространстве $L_2(G,\sigma)$ измеримых функций, квадраты которых, помноженные на $\sigma(x,y)$, суммируемы в $G$.
Статья поступила: 28.04.1969
Образец цитирования:
А. И. Ачильдиев, “О собственных функциях краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе плоской области”, Сиб. матем. журн., 12:1 (1971), 13–24; Siberian Math. J., 12:1 (1971), 8–17
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj5851 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v12/i1/p13
|
|